Задания №17 ЕГЭ — интерактивное пособие v3

Общая характеристика задания №17

Задание части 2, ответ — целое число или конечная десятичная дробь.
Проверяет умение строить и исследовать математические модели.
Максимальный балл: 2.

Пять типов задач

Тип	Сюжет	Варианты
1	Механические колебания (круизный лайнер)	1, 2, 9, 10, 17, 18, 29, 30
2	Постоянный ток (солнечные панели)	3, 4, 13, 14, 23, 24, 31, 32
3	Переменный ток (амплитуда на катушке)	5, 6, 19, 20, 33, 34
4	Распределение Максвелла	7, 8, 11, 12, 15, 16, 25–28
5	Переправа через реку	21, 22, 35, 36

Греческие буквы в текстах заданий

альфа — угол между курсом лодки и течением.

эпсилон — ЭДС источника.

θ₀

тета (с индексом 0) — угол наибольшего волнового склона.

ню — скорость молекулы. Не путать с латинской v.

тау — период волны (в части вариантов).

омега — частота переменного тока, с⁻¹.

Тип 1Механические колебания (круизный лайнер)

Вариант 1 · полный текст

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $t$ (в секундах) выражается формулой

$$A(t) = k\theta_0\frac{t^{2}}{\sqrt{(T^{2}-t^{2})^{2}+n\,t^{2}T^{2}}}.$$

Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0<n<0{,}5)$. При каком периоде волны $t$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=14{,}4$ с?

Пошаговое решение

1Обозначим $x=t^{2}$. Тогда $A^{2}=(k\theta_0)^{2}\dfrac{x^{2}}{x^{2}+(n-2)T^{2}x+T^{4}}$.

2Максимум $A$ соответствует максимуму дроби $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+(n-2)T^{2}x+T^{4}}$.

3Производная: $f'(x)=\dfrac{x\bigl(2T^{2}-(2-n)x\bigr)T^{2}}{\bigl(x^{2}+(n-2)T^{2}x+T^{4}\bigr)^{2}}$.

4$f'(x)=0$ при $x=\dfrac{2T^{2}}{2-n}$.

5$t=\sqrt{x}=T\sqrt{\dfrac{2}{2-n}}=14{,}4\sqrt{\dfrac{2}{2-n}}$.

6Ответ: $14{,}4\sqrt{\dfrac{2}{2-n}}$

0 / 6

Амплитуда как функция периода волны

Параметр $n$ 0.20

Период $T$, с 14.4

Текущий период $T$	—
Оптимальный период $t_{\text{opt}}=T\sqrt{2/(2-n)}$	—
Максимум $A/(k\theta_0)$	—

Сводная таблица по вариантам

Вариант	$T$, с	Ответ
1	14,4	$14{,}4\sqrt{2/(2-n)}$
2, 18	14,2	$14{,}2\sqrt{2/(2-n)}$
9, 17	14	$14\sqrt{2/(2-n)}$
10, 29	14,6	$14{,}6\sqrt{2/(2-n)}$
30	16	$16\sqrt{2/(2-n)}$

Тип 2Постоянный ток (солнечные панели)

Вариант 3 · полный текст

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=30$ В и внутренним сопротивлением $r=0{,}4$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:

$$I=\frac{\varepsilon}{r+R},$$

где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^{2}R$. Найдите наибольшую возможную тепловую мощность $P$, которую может выделять зарядная станция.

Пошаговое решение

1Подставляем $I=\varepsilon/(r+R)$ в формулу мощности: $P(R)=\dfrac{\varepsilon^{2}R}{(r+R)^{2}}$.

2$P'(R)=\varepsilon^{2}\dfrac{r-R}{(r+R)^{3}}$.

3$P'(R)=0$ при $R=r=0{,}4$ Ом.

4$P_{\max}=\dfrac{\varepsilon^{2}}{4r}=\dfrac{900}{1{,}6}=562{,}5$ Вт.

5Ответ: 562,5 Вт

0 / 5

Мощность как функция сопротивления нагрузки

ЭДС $\varepsilon$, В 30

Внутреннее $r$, Ом 0.4

Нагрузка $R$, Ом 0.4

Ток в цепи $I=\varepsilon/(r+R)$	—
Мощность на нагрузке $P=I^{2}R$	—
Оптимум: $R_{\text{opt}}=r$, $P_{\max}=\varepsilon^{2}/(4r)$	—

Сводная таблица по вариантам

Вариант	$\varepsilon$, В	$r$, Ом	Ответ
3	30	0,4	562,5 Вт
4, 24	60	2	$R=2$ Ом
13	30	0,4	562,5 Вт
14	60	1,2	750 Вт
23	30	1,5	$R=1{,}5$ Ом
31	60	12	75 Вт
32	30	1	225 Вт

Тип 3Переменный ток (амплитуда на катушке)

Вариант 5 · полный текст

При подключении источника переменного тока к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) подчиняется закону

$$U_L(\omega)=\frac{UL\omega}{\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}},$$

где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $L$ — индуктивность катушки, $\omega$ — частота переменного тока (в с⁻¹), $R$ — сопротивление резистора, $C$ — ёмкость конденсатора. При какой частоте $\omega$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U=180$ В, $L=0{,}045$ Гн, $C=2{,}5\cdot 10^{-5}$ Ф и $R=20$ Ом?

Пошаговое решение

1$U_L=\dfrac{UL}{\sqrt{\dfrac{1}{\omega^{4}C^{2}}+\left(R^{2}-\dfrac{2L}{C}\right)\dfrac{1}{\omega^{2}}+L^{2}}}$.

2Замена $x=1/\omega^{2}$: $f(x)=\dfrac{1}{C^{2}}x^{2}+\left(R^{2}-\dfrac{2L}{C}\right)x+L^{2}$.

3Минимум при $x_0=\dfrac{2LC-R^{2}C^{2}}{2}$.

4$x_0=10^{-6}$, значит $\omega=1/\sqrt{x_0}=1000$ с⁻¹.

5Ответ: 1000 с⁻¹

0 / 5

Резонансная кривая $U_L(\omega)$

Индуктивность $L$, Гн 0.045

Ёмкость $C$, мкФ 25

Сопротивление $R$, Ом 20

Частота $\omega$, с⁻¹ 1000

Резонансная частота $\omega_{\text{opt}}=1/\sqrt{x_0}$	—
Текущее $U_L(\omega)$	—
Максимум $U_L(\omega_{\text{opt}})$	—

Сводная таблица по вариантам

Вар.	$U$, В	$L$, Гн	$C$, Ф	$R$, Ом	Ответ
5	180	0,045	$2{,}5\cdot 10^{-5}$	20	1000
6	180	0,018	$4\cdot 10^{-5}$	10	1250
19	180	0,036	$2\cdot 10^{-5}$	20	1250
20	311	0,057	$2\cdot 10^{-5}$	50	1250
33	311	0,018	$10^{-5}$	20	2500
34	311	0,015	$10^{-4}$	10	1000

Тип 4Распределение Максвелла

Вариант 7 · полный текст

Распределение скорости молекулы кислорода при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(v)=4\pi v^{2}\left(\frac{M}{2\pi RT}\right)^{3/2}e^{-\frac{Mv^{2}}{2RT}}$$

(распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}032$ кг/моль — молярная масса кислорода, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=400$ К?

Пошаговое решение

1Логарифмируем: $\ln f(v)=2\ln v-\dfrac{Mv^{2}}{2RT}+\text{const}$.

2Производная: $\dfrac{2}{v}-\dfrac{Mv}{RT}=0$.

3Откуда $v=\sqrt{\dfrac{2RT}{M}}$.

4$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 8{,}31\cdot 400}{0{,}032}}\approx 456$ м/с.

5Ответ: $v=\sqrt{2RT/M}\approx 456$ м/с

0 / 5

Распределение молекул по скоростям

Температура $T$, К 400

Молярная масса $M$, г/моль 32

Наиболее вероятная скорость $v_p=\sqrt{2RT/M}$	—
Средняя скорость $\bar v=\sqrt{8RT/(\pi M)}$	—

Сводная таблица по вариантам

Вар.	Ищем	Формула	Параметры
7, 15	$v$	$v=\sqrt{2RT/M}$	$M=0{,}032$, $T=400$
8, 16	$v$	$v=\sqrt{2RT/M}$	$M=0{,}004$, $T=350$
11	$\varepsilon$	$\varepsilon=kT/2$	$T=450$
12	$\varepsilon$	$\varepsilon=kT/2$	$T=80$
25	$\varepsilon$	$\varepsilon=kT/2$	$T=90$
26	$\varepsilon$	$\varepsilon=kT/2$	$T=75$
27	$v$	$v=\sqrt{2RT/M}$	$M=0{,}002$, $T=300$
28	$v$	$v=\sqrt{2RT/M}$	$M=0{,}016$, $T=600$

Тип 5Переправа через реку

Вариант 21 · полный текст

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б. Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой

$$l=h\cdot\frac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}.$$

Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=60$ м, $u=1{,}3$ м/с, $v=1{,}2$ м/с.

Пошаговое решение

1Минимизируем $f(\alpha)=\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}$.

2$f'(\alpha)=-\dfrac{u\cos\alpha+v}{v\sin^{2}\alpha}$.

3$\cos\alpha=-\dfrac{v}{u}$, $\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{u^{2}}}$.

4$l_{\min}=h\cdot\dfrac{\sqrt{u^{2}-v^{2}}}{v}$.

5$l_{\min}=60\cdot\dfrac{0{,}5}{1{,}2}=25$ м.

6Ответ: 25 м

0 / 6

Траектория лодки и расстояние $l(\alpha)$

Скорость течения $u$, м/с 1.30

Скорость лодки $v$, м/с 1.20

Угол $\alpha$ 140°

Оптимальный угол $\alpha^{*}=\arccos(-v/u)$	—
$l_{\min}=h\sqrt{u^2-v^2}/v$	—
Текущее $l(\alpha)$	—

Сводная таблица по вариантам

Вариант	$h$, м	$u$, м/с	$v$, м/с	Ответ
21	60	1,3	1,2	25 м
22	75	2,6	1	180 м
35	45	3,5	2,1	60 м
36	48	2,5	2,4	14 м

Тренажёр: проверь себя

Задачи для самостоятельного решения

Вариант 2. Круизный лайнер, $T=14{,}2$ с.
Ответ
$14{,}2\sqrt{2/(2-n)}$
Вариант 4. Панели, $\varepsilon=60$ В, $r=2$ Ом.
Ответ
$R=2$ Ом
Вариант 6. Переменный ток, $U=180$ В, $L=0{,}018$ Гн, $C=4\cdot 10^{-5}$ Ф, $R=10$ Ом.
Ответ
$\omega=1250$ с⁻¹
Вариант 8. Максвелл для гелия, $T=350$ К.
Ответ
$v=\sqrt{2RT/M}$
Вариант 22. Переправа, $h=75$ м, $u=2{,}6$ м/с, $v=1$ м/с.
Ответ
$l_{\min}=180$ м